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关键技术
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.. contents ::

融合方案
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由于在区域数据同化和预报系统中，区域大小的限制和有限的观测资料。区域预报普遍缺乏全球分析和预报场中的大尺度信息。
本项目需在WRFDA中实现一种隐式正切滤波器，将全球模式分析场中大尺度信息引入WRFDA分析场中。

在没融合方案时，区域WRFDA系统full cycle方式运行中存在明显的大尺度预报误差。尺度依赖融合方案可以有效的重
新引入GFS分析场的大尺度信息，并且保留WRF分析场的小尺度信息。对比没有融合方案的24小时 full cycle实验，融合
方案降低了风、温度和湿度的分析和预报误差，也增加了在第一个6小时的降水预报技巧。

长度 :math:`l` 的 :math:`x` 分量可以通过低通滤波器分为滤波部分和残差部分，

.. math::

    x(l) = \alpha(l)x(l) + \phi(l)

:math:`\alpha(l)` 是滤波器尺度依赖响应函数， :math:`\alpha(l)x(l)` 是滤波部分， :math:`\phi(l)` 残差部分。

遵循上述关于host model的思想， :math:`x^h` ， 嵌套区域模式  :math:`x^r` （尺度 :math:`l` 的分量），可以写为

.. math::

    x^h (l) & = \alpha(l) x^h (l) + \phi^h (l) \\
    x^r (l) & = \alpha(l) x^r (l) + \phi^r (l)

在尺度为 :math:`l` 时，融合host model :math:`x^h` 和区域模式 :math:`x^r` 信息可以表示为

.. math::

    x^{bld}(l) = x^r(l) + [ \alpha(l) x^h (l) - \alpha(l) x^r (l) ]

可以看出对区域预报的大尺度调整由 :math:`\alpha(l) x^h (l) - \alpha(l) x^r (l)` 决定

上式可写为

.. math::

     x^{bld}(l) = \alpha(l) x^h (l) + [ 1 - \alpha(l) ] x^r (l) 

最终的融合场为

.. math::

    x^{bld} & = \sum_l x^{bld} (l) \\
    & = \sum_l \alpha(l) x^h (l) + \sum_l \{ [ 1 - \alpha(l) ] x^r (l)  \} \\
    & = \sum_l \alpha(l) x^h (l) + \sum_l \phi^r (l)


对于低通滤波器，第一项表示host model中较大尺度信息，第二项表示区域模式中较小尺度信息。很明显融合方法达到了
使用host model大尺度信息和区域模式小尺度信息的目标。 :math:`x^h` 可以是host model的预报场或分析场，
:math:`x^r` 可以是嵌套区域模式的预报场或分析场。整项背景场（分析场）融合表示 :math:`x^h` 和 :math:`x^r` 都为
预报场（分析场）。

在WRFDA实现
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WRFDA系统旨在为WRF模型提供初始条件。在融合方案中，低通滤波需要从host model和区域模式获取大尺度信息。本项目采用
一种低通 Raymond 六阶隐式正切滤波器（Raymond 和 Garder, 1991）来获取大尺度信息。Raymond六阶隐式正切滤波器对
长度尺度 :math:`l` 的波幅响应函数表示为

.. math::

    \alpha(l) & =  \Big [ 1 + \varepsilon \mathrm{tan}^6  \Big ( \frac{\pi \delta x}{l}  \Big )  \Big ]^{-1} \\
    \varepsilon & = \mathrm{tan}^{-6}  \Big ( \frac{\pi \delta x}{l_c}  \Big )

滤波参数

.. figure:: ./images/res_func.png
   :align: center
   :alt: Raymond滤波器的波幅响应与截断波长的函数关系，（a）1200km，（b）600km

   Raymond滤波器的波幅响应与截断波长的函数关系

在WRFDA中，背景场通常是由前一个周期的短期WRF预报提供。在背景融合方案中，将短期WRF预报与GFS短期预报同时进行融合，
然后将这种融合预报作为WRFDA的背景场。在分析场融合方案中，WRFDA分析场与GFS分析场融合在一起，形成了新的分析场，为下一个
WRF周期提供了初始条件。融合变量包括WRF模式的预报变量，例如扰动位势高度，扰动假相当位温，u和v风，水汽混合比，扰动气压
和扰动干地面气压。